แคลคูลัสของไอแซกนิวตันเริ่มต้นขึ้นในปี 1665 ด้วยการค้นพบอนุกรมทวินามทั่วไป (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2! ∙ x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3! ∙ x 3 + ⋯ค่าเหตุผลโดยพลการของnด้วยสูตรนี้เขาสามารถหาอนุกรมอนันต์สำหรับฟังก์ชันพีชคณิตจำนวนมาก (ฟังก์ชันyของxที่ตอบสนองสมการพหุนามp ( x , y) = 0) ตัวอย่างเช่น (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯และ 1 / รากที่สองของ√ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2 ∙ x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4 ∙ x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 / 4 ∙ 6 ∙ x 6 + ⋯
แบบทดสอบดาราศาสตร์และอวกาศแบบทดสอบส่วนที่มองเห็นได้ของดวงอาทิตย์เรียกว่าอะไร? ในทางกลับกันสิ่งนี้ทำให้นิวตันไปสู่อนุกรมอนันต์สำหรับปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต ยกตัวอย่างเช่นเขาได้รับลอการิทึมโดยการบูรณาการอำนาจของxในซีรีส์สำหรับ (1 + x ) -1 หนึ่งโดยหนึ่งเข้าสู่ระบบ (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯และชุดผกผันไซน์โดยการบูรณาการชุดสำหรับ 1 / รากที่สองของ√ (1 - x 2) บาป-1 ( x ) = x + 1/ 2 ∙x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ x 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 7/ 7 + ⋯
ในที่สุดนิวตันก็ครองตำแหน่งประสิทธิภาพอัจฉริยะนี้โดยการคำนวณอนุกรมผกผันสำหรับxเป็นอนุกรมในอำนาจของy = log ( x ) และy = sin − 1 ( x ) ตามลำดับโดยหาอนุกรมเอ็กซ์โพเนนเชียลx = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯และชุดไซน์x = Y - Y 3/ 3! + Y 5/ 5! - ปี 7 /7! + ⋯.
โปรดทราบว่าความแตกต่างเพียงอย่างเดียวและการรวมนิวตันที่จำเป็นคือสำหรับกำลังของxและงานจริงเกี่ยวข้องกับการคำนวณพีชคณิตด้วยอนุกรมอนันต์ อันที่จริงนิวตันมองว่าแคลคูลัสเป็นอะนาล็อกเชิงพีชคณิตของเลขคณิตที่มีทศนิยมไม่สิ้นสุดและเขาเขียนไว้ในTractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671;“ Treatise on the Method of Series and Fluxions”):
ฉันประหลาดใจที่ไม่มีใครเกิดขึ้น (ถ้าคุณยกเว้นเอ็นเมอร์เคเตอร์และการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเพอร์โบลาของเขา) เพื่อให้สอดคล้องกับหลักคำสอนที่เพิ่งกำหนดขึ้นสำหรับเลขฐานสิบกับตัวแปรโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อวิธีนี้เปิดรับผลกระทบที่โดดเด่นมากขึ้น เนื่องจากหลักคำสอนนี้ในสปีชีส์มีความสัมพันธ์เช่นเดียวกับพีชคณิตที่หลักคำสอนของเลขฐานสิบมีกับเลขคณิตทั่วไปการดำเนินการของการบวกการลบการคูณการหารและการแยกรากจึงสามารถเรียนรู้ได้ง่ายจากสิ่งหลัง
สำหรับนิวตันการคำนวณดังกล่าวเป็นตัวอย่างของแคลคูลัส อาจพบได้ในDe Methodisของเขาและต้นฉบับDe Analysi ต่อ Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669;“ On Analysis by Equations with an Infinite Number of Terms”) ซึ่งเขาถูกเขียนขึ้นหลังจากชุดลอการิทึมของเขาถูกค้นพบและเผยแพร่โดย Nicolaus Mercator นิวตันไม่เคยอ่านDe Methodisจนจบและแม้จะมีคนไม่กี่คนที่เขาอนุญาตให้อ่านDe Analysiแต่เขาก็ระงับไม่ให้ตีพิมพ์จนถึงปี 1711 แน่นอนว่านี่เป็นเพียงการทำร้ายเขาในการโต้แย้งลำดับความสำคัญกับ Gottfried Wilhelm Leibniz
